Bernoulli y la Paradoja de St.Petersburgo
Daniel Bernoulli - matemático suizo que bien puede considerársele en el grupo de los ilustrados - avanzó el camino del concepto de riesgo después de Pascal, Fermat, y Cadano. El tipo argumentó contra la proposición que dominaba en su época, “el valor esperado se computa multiplicando cada posibilidad de ganancia por el número de maneras en que puede ocurrir y después dividiendo la suma de este producto por el número total de casos”.
Por ejemplo, ¿Cual es el valor esperado del lanzamiento de dos dados? hay once posibles resultados: 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12. Agregando los once posibles resultados obtenemos 77. Dividimos por 11 ( que son las alternativas posibles). 77/11= 7. En efecto, el valor esperado de lanzar dos dados es 7. No todos los números tienen igual probabilidad de salir: unos más que otros. El 7, como habrán adivinado, es el de mayores posibilidades (16,6%).
El argumento de Bernoulli contra la anterior proposición fue que si bien este tipo de cálculos están bien para los juegos de azar, la vida real es bien diferente, incluso conociendo las probabilidades, tomadores de decisiones racionales intentarán maximizar la utilidad esperada, no el valor esperado.
Y fue más allá, introduciendo la siguiente idea: “la utilidad resultante de cualquier incremento en la riqueza será inversamente proporcional a la cantidad de riqueza poseída”. Fermat, Pascal, Cardano nos condujeron a la forma de medir el riesgo, Bernoulli nos introdujo al tomador del riesgo.
Su ejemplo más notorio se conoce como la Paradoja de St. Petersburgo. El juego consiste en que lanzando una moneda el jugador recibirá un dólar si sale cara la primera vez. El premio doblará por cada nueva cara que salga en la moneda. Y terminará al salir sello. ¿Cuánto debería pagar un jugador por participar en el juego?
Siguiendo las prescripciones de Fermat y Pascal, el jugador racional debe aceptar una propuesta de juego si la ganancia esperada (la media del dinero que obtendría participando muchas veces en ese juego) es mayor que la suma exigida para entrar en el juego, y rechazar la propuesta cuando la ganancia esperada es menor que esa suma.
Bernoulli sostuvo que bajo el método aceptado de cálculo de riesgo, llegaremos a un valor esperado infinito. La paradoja surge porque, bajo esta lógica, cualquier suma solicitada es adecuada para participar en el juego. Un individuo sensato, a lo sumo pagaría 10 dólares por entrar a él.
Esto es aplicable no solo en teoría. Tiene utilidad práctica significativa. Por ejemplo cuando invertimos en acciones de empresas: los prospectos de ganancias son difíciles de predecir, sin embargo, en ocasiones el estado de ánimo del mercado respecto de alguna empresa es tan positivo que está dispuesto a pagar cualquier precio por sus acciones. En un caso como éste: ¿Aplica la Paradoja de St. Petersburgo vestida con el ropaje de otra situación?
